2. В параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ основание ABCD — квадрат со стороной 8 см, остальные грани — прямоугольники. Боковое ребро равно 3 см, E — середина A₁B₁. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через AC и точку E, и найдите периметр сечения.

Зададим координаты: A(0; 0; 0), B(8; 0; 0), C(8; 8; 0), D(0; 8; 0); верхнее основание имеет высоту 3 см. Тогда A₁(0; 0; 3), B₁(8; 0; 3), а E(4; 0; 3).

Плоскость проходит через A, C и E. В грани ABB₁A₁ её след — отрезок AE. В грани BCC₁B₁ она пересекает ребро BB₁ в точке F. Уравнение этой плоскости в координатах имеет вид z = 3x/4 − 3y/4; при x = 8, y = 0 получаем z = 6, что выходит за пределы ребра BB₁ (где 0 ≤ z ≤ 3). Следовательно, вместо BB₁ плоскость пересекает ребро B₁C₁: при z = 3 и x = 8 получаем y = 4. Обозначим эту точку F. Сечение — четырёхугольник A–E–F–C.

Вычислим стороны:

AE = √(4² + 3²) = 5 см.

EF = √(4² + 4²) = 4√2 см.

FC = √(4² + 3²) = 5 см, поскольку от F до C разности координат равны 4, 0 и 3.

CA = √(8² + 8²) = 8√2 см.

Периметр: P = 5 + 4√2 + 5 + 8√2 = 10 + 12√2 см.

Ответ: сечение — четырёхугольник AEFC; периметр равен 10 + 12√2 см.