3. В правильной четырёхугольной призме ABCDA₁B₁C₁D₁ сторона основания AB равна 3, а боковое ребро AA₁ = √6. На рёбрах AB, A₁D₁ и C₁D₁ отмечены точки M, N и K соответственно, причём AM = A₁N = C₁K = 1. а) Пусть L — точка пересечения плоскости MNK с ребром BC. Докажите, что MNKL — квадрат. б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью MNK.

Примем координаты: A(0; 0; 0), B(3; 0; 0), C(3; 3; 0), D(0; 3; 0); верхнее основание расположено на высоте h = √6. Тогда M(1; 0; 0), N(0; 1; h), K(2; 3; h).

Проверим данные условия. Вектор MN = (−1; 1; √6), а MK = (1; 3; √6). Нормаль к плоскости MNK пропорциональна векторному произведению MN × MK = (−3√6; 2√6; −4). Уравнение плоскости, проходящей через M, имеет вид −3√6(x − 1) + 2√6y − 4z = 0.

На ребре BC точки имеют координаты (3; y; 0). Подстановка в уравнение даёт 2√6y = 6√6, то есть y = 3. Поэтому пересечение плоскости с ребром BC — точка C, то есть L = C.

Однако четырёхугольник MNKC не является квадратом: например, MN² = 1 + 1 + 6 = 8, тогда как MK² = 1 + 9 + 6 = 16. Кроме того, точка C не лежит на прямой, параллельной MN через K. Следовательно, напечатанные условия противоречат требованию доказать, что MNKL — квадрат; вероятно, в условии есть опечатка в обозначении ребра или положении одной из точек.

При данных, читаемых на изображении, площадь сечения плоскостью MNK всё же можно вычислить. Плоскость пересекает рёбра AB, A₁D₁, C₁D₁ и BC в точках M, N, K и C соответственно, поэтому сечение — четырёхугольник MNKC.

Его площадь равна половине модуля векторного произведения MN × MK плюс половина модуля произведения MK × MC. Эквивалентно, по формуле площади многоугольника в пространстве получаем S = |(MN × MK + MK × MC)·u|/2, где u — единичный вектор нормали; проще разбить четырёхугольник диагональю MK. Для треугольника MNK площадь равна |MN × MK|/2 = √(36 + 24 + 16)/2 = √76/2 = √19. Для треугольника MKC: MC = (2; 3; 0), и |MK × MC| = √(54 + 24 + 36) = √114, поэтому его площадь равна √114/2.

Итак, площадь сечения равна √19 + √114/2 квадратных единиц.

Чтобы доказать пункт а) и найти площадь сечения, соответствующую предполагаемому квадрату, необходимо уточнить исходный текст: на фотографии видны значения AM = A₁N = C₁K = 1, но эти данные не дают заявленного свойства MNKL.

Ответ: при читаемых данных L = C, MNKL не является квадратом; площадь фактического сечения MNKC равна √19 + √114/2.