№2. В параллелограмме ABCD биссектриса острого угла A делит сторону BC на отрезки BE = 8 см и CE = 2 см. ∠AEC = 150°. Найти: а) углы параллелограмма; б) периметр параллелограмма.

Поскольку E лежит на BC, углы ∠AEC и ∠AEB смежные. Поэтому ∠AEB = 180° − 150° = 30°.

Так как AB ∥ CE, угол между AE и AB равен углу между AE и CE: ∠BAE = ∠AEC = 150°? Уточним направление лучей: луч AE и луч EC образуют угол 150°, а луч AB параллелен EC и направлен противоположно лучу EC. Следовательно, ∠BAE = 180° − 150° = 30°.

AE — биссектриса угла A, значит ∠A = 2 · 30° = 60°. Соседние углы параллелограмма в сумме дают 180°, а противоположные равны, поэтому ∠A = ∠C = 60°, ∠B = ∠D = 120°.

BC = BE + CE = 8 + 2 = 10 см. Поскольку AB ∥ CE, ∠BAE = ∠AEC в ориентированном рассмотрении с учётом смежных углов; в треугольнике ABE имеем ∠BAE = 30° и ∠AEB = 30°, поэтому AB = BE = 8 см. Тогда периметр равен 2(AB + BC) = 2(8 + 10) = 36 см.

Ответ: а) 60°, 120°, 60°, 120°; б) 36 см.