2. В параллелограмме АВСД проведена биссектриса угла А, которая пересекает сторону ВС в точке Е. Докажите, что треугольник ДЕС равнобедренный.

Так как АЕ — биссектриса угла А, то ∠ДАЕ = ∠ЕАВ. Поскольку АВ ∥ ДС, а Е лежит на ВС, получаем ∠ЕАВ = ∠АЕВ и ∠ДАЕ = ∠АЕД (АД ∥ ВС).

Следовательно, ∠АЕВ = ∠ДАЕ = ∠АЕД, откуда АЕ = АВ и АЕ = АД. Чтобы доказать нужное утверждение, заметим также, что ∠АЕД и ∠ДЕС — смежные, а ∠АЕВ и ∠АЕС — смежные; удобнее использовать равенство углов между прямыми: ∠ДЕА = ∠ЕАД, поэтому треугольник АДЕ равнобедренный и ДЕ = АЕ.

Из АВ ∥ ДС и коллинеарности В, Е, С имеем ∠АВЕ = ∠ДСЕ. При этом АЕ = АВ, следовательно, в треугольнике АВЕ углы при основании равны: ∠АЕВ = ∠АВЕ. Тогда ∠ДЕС = 180° − ∠АЕВ, а ∠ДСЕ = ∠АВЕ; эти углы не дают напрямую равенство сторон ДЕ и ЕС. Проверим требуемый вывод: ∠ДЕА = ∠ЕАД, а ∠ДЕС = 180° − ∠ДЕА; также ∠ДСЕ = ∠АВЕ = ∠АЕВ. Поскольку ∠ДЕА = ∠АЕВ, получаем ∠ДЕС = 180° − ∠АЕВ, что вообще не равно ∠ДСЕ.

В условии, вероятно, имеется в виду треугольник ДЕС, но это утверждение не следует из данных и в общем случае неверно. Например, возьмём параллелограмм с А(0,0), В(4,0), Д(1,3), С(5,3). Биссектриса угла А пересекает ВС, но треугольник ДЕС не обязан быть равнобедренным.

Ответ: утверждение в указанном виде неверно; вероятно, в условии опечатка.