2. В параллелограмме EFCD на стороне CD взята точка M так, что DM:MC = 2:5. Точка K — точка пересечения диагоналей. Выразите векторы \(\overrightarrow{KC}\) и \(\overrightarrow{FM}\) через векторы \(\vec m=\overrightarrow{EF}\) и \(\vec n=\overrightarrow{ED}\).

Обозначим \(E\) началом отсчёта. Тогда \(\overrightarrow{EF}=\vec m\), \(\overrightarrow{ED}=\vec n\), а из свойства параллелограмма \(\overrightarrow{EC}=\vec m+\vec n\).

Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, поэтому \(\overrightarrow{EK}=\frac12(\vec m+\vec n)\). Следовательно, \(\overrightarrow{KC}=\overrightarrow{EC}-\overrightarrow{EK}=\frac12\vec m+\frac12\vec n\).

Точка M делит сторону DC в отношении \(DM:MC=2:5\), значит \(\overrightarrow{DM}=\frac27\overrightarrow{DC}=\frac27\vec m\). Тогда \(\overrightarrow{EM}=\vec n+\frac27\vec m\), и

\(\overrightarrow{FM}=\overrightarrow{EM}-\overrightarrow{EF}=\vec n-\frac57\vec m\).

Ответ: \(\overrightarrow{KC}=\frac12\vec m+\frac12\vec n;\quad \overrightarrow{FM}=\vec n-\frac57\vec m\).