2. В параллелограмме ЕFСD на стороне СD взята точка М так, что ДМ:МС = 2:5. Точка К — точка пересечения диагоналей. Выразите векторы \(\overrightarrow{KC}\) и \(\overrightarrow{FM}\) через векторы \(\vec m=\overrightarrow{EF}\) и \(\vec n=\overrightarrow{ED}\).

Обозначим точку Е началом отсчёта. Тогда радиус-векторы вершин: \(E=0\), \(F=\vec m\), \(D=\vec n\), а \(C=\vec m+\vec n\), поскольку противоположные стороны параллелограмма равны и параллельны.

Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, поэтому \(K=\frac12(\vec m+\vec n)\). Тогда

\[\overrightarrow{KC}=C-K=(\vec m+\vec n)-\frac12(\vec m+\vec n)=\frac12\vec m+\frac12\vec n.\]

Отношение \(ДМ:МС=2:5\) означает, что точка М находится на \(\frac27\) пути от Д к С. Поскольку \(\overrightarrow{DC}=\vec m\), получаем \(M=\vec n+\frac27\vec m\). Следовательно,

\[\overrightarrow{FM}=M-F=\vec n+\frac27\vec m-\vec m=\vec n-\frac57\vec m.\]

Ответ: \(\overrightarrow{KC}=\frac12\vec m+\frac12\vec n\); \(\overrightarrow{FM}=\vec n-\frac57\vec m\).