2. В параллелограмме KMNP точка B — середина стороны MN, точка A на отрезке PN, такая, что PA:AN=2:1. Выразите векторы \(\vec{MA}\) и \(\vec{AB}\) через векторы \(\vec m=\vec{KM}\) и \(\vec n=\vec{KP}\).

Question

Вопрос:

Accepted Answer

Пусть \(\vec{KM}=\vec m\), \(\vec{KP}=\vec n\). Тогда в параллелограмме

\[\vec{KN}=\vec{KM}+\vec{KP}=\vec m+\vec n.\]

Так как B — середина MN,

\[\vec{KB}=\frac{\vec{KM}+\vec{KN}}{2}=\frac{\vec m+(\vec m+\vec n)}{2}=\vec m+\frac12\vec n.\]

Из условия \(PA:AN=2:1\) следует, что \(\vec{PA}=\frac23\vec{PN}\). Поскольку \(\vec{PN}=\vec{KM}=\vec m\),

\[\vec{KA}=\vec{KP}+\vec{PA}=\vec n+\frac23\vec m.\]

Теперь найдём \(\vec{MA}\):

\[\vec{MA}=\vec{KA}-\vec{KM}=\left(\vec n+\frac23\vec m\right)-\vec m=\vec n-\frac13\vec m.\]

Найдём \(\vec{AB}\):

\[\vec{AB}=\vec{KB}-\vec{KA}=\left(\vec m+\frac12\vec n\right)-\left(\vec n+\frac23\vec m\right)=\frac13\vec m-\frac12\vec n.\]

Ответ: \(\boxed{\vec{MA}=\vec n-\frac13\vec m}\), \(\boxed{\vec{AB}=\frac13\vec m-\frac12\vec n}\).