2. В правильной треугольной пирамиде апофема равна l и образует с высотой пирамиды угол α. Найдите объем пирамиды.

1. Рассмотрим сечение через вершину пирамиды, центр основания и середину его стороны. Полученный прямоугольный треугольник имеет гипотенузу \(l\), высоту пирамиды \(h\) и радиус вписанной окружности основания \(r\).
2. По определению синуса и косинуса: \(h=l\cos\alpha\), \(r=l\sin\alpha\).
3. Площадь правильного треугольника через радиус вписанной окружности равна \(S=3\sqrt{3}\,r^2\). Тогда \(V=\frac13Sh=\sqrt{3}\,r^2h\).
4. Подставим найденные выражения: \(V=\sqrt{3}(l\sin\alpha)^2(l\cos\alpha)=\sqrt{3}l^3\sin^2\alpha\cos\alpha\).

Ответ: \(V=\sqrt{3}l^3\sin^2\alpha\cos\alpha\).