3. Равнобедренный треугольник с основанием 8 см и периметром 18 см вращается вокруг прямой, параллельной основанию и проходящей через вершину наибольшего угла треугольника. Найдите объем тела вращения.

1. Боковые стороны треугольника равны \((18-8):2=5\) см. Высота к основанию делит его пополам, поэтому высота треугольника равна \(\sqrt{5^2-4^2}=3\) см.
2. Проведём ось вращения через вершину, параллельно основанию. На расстоянии \(x\) от середины основания, где \(-4\le x\le4\), внешний радиус сечения равен 3 см. Внутренний радиус равен \(\frac{3|x|}{4}\) см: он определяется наклонной стороной треугольника.
3. Сечения тела — кольца. По формуле объёма через площади поперечных сечений: \(V=\pi\int_{-4}^{4}\left(3^2-\left(\frac{3|x|}{4}\right)^2\right)dx=\pi\int_{-4}^{4}\left(9-\frac{9x^2}{16}\right)dx=48\pi\) см³.

Ответ: \(48\pi\) см³.