2. В прямоугольном треугольнике АВС катет АС = 60, а высота СН, опущенная на гипотенузу, равна 12√21. Найдите sin ∠ABC.

Решение:

В прямоугольном треугольнике ABC, \( ∠AHC = 90^{\circ} \). Треугольники AHC и ABC подобны.

Из подобия \( \triangle AHC \sim \triangle ABC \) следует:

\( \frac{CH}{BC} = \frac{AC}{AB} \)

\( BC = AC · \frac{CH}{AC} \)

В прямоугольном треугольнике ABC:

\( \sin(\angle ABC) = \frac{AC}{AB} \)

\( \cos(\angle ABC) = \frac{BC}{AB} \)

Из \( \triangle CHB \sim \triangle ABC \) следует:

\( \frac{CH}{AC} = \frac{BC}{AB} \)

\( \frac{12\sqrt{21}}{60} = \frac{BC}{AB} \)

\( \frac{BC}{AB} = \frac{\sqrt{21}}{5} \)

Так как \( \cos(\angle ABC) = \frac{BC}{AB} \), то \( \cos(\angle ABC) = \frac{\sqrt{21}}{5} \).

Используем основное тригонометрическое тождество: \( \sin^2(\angle ABC) + \cos^2(\angle ABC) = 1 \).

\( \sin^2(\angle ABC) = 1 - \cos^2(\angle ABC) = 1 - \left(\frac{\sqrt{21}}{5}\right)^2 = 1 - \frac{21}{25} = \frac{25 - 21}{25} = \frac{4}{25} \)

\( \sin(\angle ABC) = \sqrt{\frac{4}{25}} = \frac{2}{5} \) (так как \( \angle ABC \) - острый угол прямоугольного треугольника, синус положителен).

Ответ: \( \frac{2}{5} \)