2. В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С проведена высота CD. Найдите величину угла В, если DA = 4, а AC = 8. Ответ дайте в градусах. Запишите решение и ответ.

Дано:

• Треугольник ABC, ∠C = 90°
• CD — высота
• DA = 4
• AC = 8

Найти: ∠B

Решение:

1. В прямоугольном треугольнике ABC, высота CD, проведенная из вершины прямого угла, делит гипотенузу AB на отрезки AD и DB.
2. По свойству высоты прямоугольного треугольника, квадрат высоты равен произведению отрезков, на которые она делит гипотенузу: $$CD^2 = AD · DB$$.
3. Также, квадрат катета равен произведению гипотенузы на прилежащий к этому катету отрезок гипотенузы: $$AC^2 = AD · AB$$.
4. Подставим известные значения: $$8^2 = 4 · AB$$.
5. $$64 = 4 · AB$$.
6. $$AB = 64 / 4 = 16$$.
7. Теперь найдем длину отрезка DB: $$DB = AB - AD = 16 - 4 = 12$$.
8. Теперь мы можем найти высоту CD: $$CD^2 = 4 · 12 = 48$$. $$CD = √48 = 4√3$$.
9. В прямоугольном треугольнике ADC: $$\cos(\angle A) = \frac{AD}{AC} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$$.
10. Следовательно, ∠A = 60°.
11. В прямоугольном треугольнике ABC: ∠B = 90° - ∠A = 90° - 60° = 30°.

Ответ: 30