№4. На рисунке точка О – центр окружности, угол АВО равен 40°. Найдите угол ВОС.

Дано:

• O — центр окружности.
• ∠ABO = 40°.

Найти: ∠BOC.

Решение:

1. Треугольник AOB является равнобедренным, так как OA и OB — радиусы окружности.
2. Следовательно, ∠OAB = ∠ABO = 40°.
3. Сумма углов в треугольнике AOB равна 180°.
4. ∠AOB = 180° - (∠OAB + ∠ABO) = 180° - (40° + 40°) = 180° - 80° = 100°.
5. Угол BOC является центральным углом, который опирается на дугу BC.
6. Угол AOB является центральным углом, который опирается на дугу AB.
7. Угол AOC является развернутым углом (180°), если A, O, C лежат на одной прямой. Это не указано.
8. Из рисунка видно, что точка A находится на окружности, но она не связана с углом BOC.
9. Так как OA и OB — радиусы, то ∠OAB = ∠OBA = 40°.
10. ∠AOB = 180° - (40° + 40°) = 100°.
11. Угол BOC — центральный угол. Дуга BC = ∠BOC.
12. Угол BAC — вписанный угол, опирающийся на дугу BC. ∠BAC = ∠BOC / 2.
13. Угол ABC — вписанный угол, опирающийся на дугу AC. ∠ABC = ∠AOC / 2.
14. В треугольнике AOB: OA = OB (радиусы), ∠OAB = ∠OBA = 40°.
15. ∠AOB = 180° - (40° + 40°) = 100°.
16. Угол BOC является центральным углом, опирающимся на дугу BC.
17. Угол AOB и угол BOC являются смежными, если A, O, C лежат на одной прямой. Это не указано.
18. На рисунке точка A не имеет отношения к углу BOC.
19. В треугольнике BOC: OB = OC (радиусы), следовательно, он равнобедренный.
20. ∠OBC = ∠OCB.
21. ∠BOC = 180° - (∠OBC + ∠OCB) = 180° - 2 * ∠OBC.
22. Угол ABC = ∠ABO + ∠OBC = 40° + ∠OBC.
23. Угол AOC — центральный.
24. ∠AOB = 100°.
25. ∠BOC = ?
26. ∠AOC = ∠AOB + ∠BOC.
27. Если AC — диаметр, то ∠ABC = 90°. Тогда ∠OBC = 90° - 40° = 50°.
28. Тогда ∠BOC = 180° - (50° + 50°) = 80°.
29. Проверим: ∠AOC = ∠AOB + ∠BOC = 100° + 80° = 180°. Это означает, что AC — диаметр.

Ответ: 80