2. В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки длиной 5 см и 12 см. Найдите катеты треугольника.

Гипотенуза равна \(5 + 12 = 17\) см. Обозначим через \(x\) длину касательных от вершины прямого угла. По равенству касательных от одной точки катеты равны \(x + 5\) и \(x + 12\).

По теореме Пифагора:

\((x + 5)^2 + (x + 12)^2 = 17^2\).

Раскроем скобки и упростим: \(2x^2 + 34x + 169 = 289\), откуда \(x^2 + 17x - 60 = 0\).

Корни: \(x = 3\) и \(x = -20\). Длина не может быть отрицательной, поэтому \(x = 3\).

Катеты: \(3 + 5 = 8\) см и \(3 + 12 = 15\) см.

Ответ: 8 см и 15 см.