2. В прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AD и BC меньшая боковая сторона AB = 7. Биссектрисы углов B и C пересекаются на основании AD. Найдите длину AD, если известно, что ∠D = 30°.

Пусть \(P\) — точка пересечения биссектрис на основании \(AD\). Введём координаты: \(A=(0,0)\), \(B=(0,7)\), \(C=(b,7)\), \(D=(d,0)\).

1. Поскольку \(AB\perp AD\), биссектриса прямого угла \(B\) идёт под углом 45° к сторонам. Её пересечение с \(AD\) находится на расстоянии 7 от \(A\), поэтому \(P=(7,0)\).
2. Из угла \(D=30^\circ\) и высоты \(AB=7\) следует \(d-b=\frac{7}{\tan 30^\circ}=7\sqrt{3}\). Длина наклонной стороны \(CD=14\), поэтому её направляющий единичный вектор от \(C\) к \(D\) равен \((\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac12)\).
3. Так как \(P\) лежит на биссектрисе угла \(C\), его расстояния до прямых \(BC\) и \(CD\) равны. Расстояние до \(BC\), то есть до прямой \(y=7\), равно 7. Расстояние до \(CD\) равно \(\frac{|7-b-7\sqrt{3}|}{2}\). Приравнивая расстояния, получаем \(|7-b-7\sqrt{3}|=14\).
4. С учётом \(b>0\) получаем \(b=21-7\sqrt{3}\). Тогда \(AD=d=b+7\sqrt{3}=21\).

Ответ: 21.