2. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведена медиана ВМ. На ней взята точка О. Докажите равенство треугольников АВО и СВО.

Решение:

Рассмотрим треугольники АВО и СВО.

Дано:

• Треугольник ABC — равнобедренный с основанием AC.
• BM — медиана.
• O — точка на BM.

Доказать: △ABO = △CBO

Доказательство:

1. Так как треугольник ABC равнобедренный с основанием AC, то AB = BC.
2. Так как BM — медиана, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, то BM также является высотой и биссектрисой. Следовательно, ∠AMB = ∠CMB = 90° и AM = MC.
3. Рассмотрим треугольники ABM и CBM:
• AB = BC (по условию, равнобедренный треугольник).
• BM — общая сторона.
• AM = MC (BM — медиана).
• Следовательно, △ABM = △CBM по трем сторонам (по признаку равенства треугольников).
4. Из равенства △ABM и △CBM следует, что ∠ABM = ∠CBM.
5. Теперь рассмотрим треугольники ABO и CBO:
• AB = BC (по условию).
• ∠ABO = ∠CBO (так как ∠ABM = ∠CBM, а O лежит на BM).
• BO — общая сторона.
• Следовательно, △ABO = △CBO по двум сторонам и углу между ними (по первому признаку равенства треугольников).

Вывод: Треугольники ABO и CBO равны.