3. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведена биссектриса СК. Найдите углы треугольника АВС, если угол АКС = 60°.

Решение:

Дано:

• Треугольник ABC — равнобедренный с основанием AC.
• CK — биссектриса.
• ∠AKC = 60°.

Найти: Углы треугольника ABC (∠A, ∠B, ∠C).

Решение:

1. Пусть ∠A = ∠C = x (углы при основании равнобедренного треугольника).
2. Тогда ∠B = 180° - 2x.
3. CK — биссектриса, поэтому она делит угол C пополам: ∠ACK = ∠BCK = x/2.
4. Рассмотрим треугольник AKC. Сумма углов в треугольнике равна 180°:
• ∠A + ∠ACK + ∠AKC = 180°
• x + x/2 + 60° = 180°
• 3x/2 = 180° - 60°
• 3x/2 = 120°
• 3x = 240°
• x = 80°
5. Итак, углы при основании равны ∠A = ∠C = 80°.
6. Угол при вершине B равен:
• ∠B = 180° - 2 * 80° = 180° - 160° = 20°.
7. Проверим: ∠A = 80°, ∠C = 80°, ∠B = 20°.
8. ∠ACK = 80°/2 = 40°.
9. В треугольнике AKC: ∠A + ∠ACK + ∠AKC = 80° + 40° + 60° = 180°. Условие выполняется.

Ответ: ∠A = 80°, ∠B = 20°, ∠C = 80°.