3. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведена биссектриса СК. Найдите углы треугольника АВС, если угол АКС = 60°.

Задание 3. Углы равнобедренного треугольника

Дано:

• Треугольник АВС — равнобедренный с основанием АС.
• СК — биссектриса.
• \( \angle AKC = 60^\circ \).

Найти: Углы треугольника АВС (\( \angle A \), \( \angle B \), \( \angle C \)).

Решение:

1. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС углы при основании равны: \( \angle A = \angle C \).
2. Так как СК — биссектриса угла С, то она делит его пополам: \( \angle ACK = \angle KCB = \frac{1}{2} \angle C \).
3. Рассмотрим треугольник АКС. Сумма углов в треугольнике равна 180°: \( \angle A + \angle ACK + \angle AKC = 180^\circ \).
4. Подставим известные значения: \( \angle A + \frac{1}{2} \angle C + 60^\circ = 180^\circ \).
5. Так как \( \angle A = \angle C \), заменим \( \angle C \) на \( \angle A \): \( \angle A + \frac{1}{2} \angle A + 60^\circ = 180^\circ \).
6. Упростим уравнение: \( \frac{3}{2} \angle A = 180^\circ - 60^\circ \)
7. \( \frac{3}{2} \angle A = 120^\circ \)
8. \( \angle A = 120^\circ \cdot \frac{2}{3} = 80^\circ \).
9. Так как \( \angle A = \angle C \), то \( \angle C = 80^\circ \).
10. Теперь найдём \( \angle B \) (угол при вершине). Сумма углов треугольника АВС равна 180°: \( \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ \).
11. \( 80^\circ + \angle B + 80^\circ = 180^\circ \)
12. \( 160^\circ + \angle B = 180^\circ \)
13. \( \angle B = 180^\circ - 160^\circ = 20^\circ \).

Ответ: Углы треугольника АВС равны: \( \angle A = 80^\circ \), \( \angle B = 20^\circ \), \( \angle C = 80^\circ \).