2. В равнобедренном треугольнике МОК с основанием МК проведена биссектриса КД. <КДМ=108°. Найти углы треугольника МОК.

Задание 2

Дано:

• Треугольник МОК — равнобедренный с основанием МК.


• КД — биссектриса.


• \( \angle КДМ = 108^\circ \).

Найти: углы \( \angle МОК \), \( \angle ОМК \), \( \angle ОKМ \).

Решение:

1. Рассмотрим треугольник МКД. Угол \( \angle МКД \) и \( \angle КДМ \) являются смежными с \( \angle OKM \) и \( \angle KDM \) соответственно.


2. В равнобедренном треугольнике МОК с основанием МК, биссектриса КД, проведенная к основанию, также является высотой и медианой. Следовательно, \( \angle МКО = \angle OKM \) и \( \angle KDM = 90^\circ \).


3. Данное условие \( \angle КДМ = 108^\circ \) противоречит тому, что КД является высотой (\( 90^\circ \)). Возможно, КД проведена из вершины К, но не к основанию.


4. Предположим, что МК — боковая сторона, а МО — основание. Тогда \( \angle OMK = \angle OKM \). Биссектриса КД из вершины К.


5. Рассмотрим треугольник МКД. \( \angle KDM = 108^\circ \). Угол \( \angle MKD = \angle OKM / 2 \).


6. Внешний угол треугольника равен сумме двух других углов. Рассмотрим \( \angle KDM \) как внешний угол к \( \triangle MKD \).


7. \( \angle KDM = \angle KMD + \angle MKD \)


8. \( 108^\circ = \angle OMK + \frac{\angle OKM}{2} \). Так как \( \angle OMK = \angle OKM \), то \( 108^\circ = \angle OKM + \frac{\angle OKM}{2} = \frac{3}{2} \angle OKM \).


9. \( \angle OKM = 108^\circ \cdot \frac{2}{3} = 72^\circ \).


10. Значит, \( \angle OMK = 72^\circ \).


11. Угол при вершине \( \angle МОК = 180^\circ - (72^\circ + 72^\circ) = 180^\circ - 144^\circ = 36^\circ \).

Ответ: Углы треугольника МОК равны 36°, 72°, 72°.