2. В равнобедренном треугольнике один из углов равен 120°, а основание 10 см. Найти высоту, проведённую к боковой стороне.

Решение:

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Так как один из углов равен 120°, это угол при вершине, противоположной основанию. Углы при основании будут \( (180° - 120°) / 2 = 30° \).

Пусть \( ABC \) — равнобедренный треугольник, \( ∠ B = 120° \), \( AC = 10 \) см. Углы при основании \( ∠ A = ∠ C = 30° \).

Пусть \( BH \) — высота, проведённая к боковой стороне \( AB \). Треугольник \( BHA \) — прямоугольный с \( ∠ BAH = 30° \) и \( ∠ AHB = 90° \). Следовательно, \( ∠ ABH = 180° - 90° - 30° = 60° \).

Чтобы найти высоту \( BH \), нужно найти длину боковой стороны \( AB \).

Рассмотрим треугольник \( ABC \). По теореме синусов:

\[ \frac{AC}{\sin(∠ B)} = \frac{AB}{\sin(∠ C)} \]

\[ \frac{10}{\sin(120°)} = \frac{AB}{\sin(30°)} \]

\[ \sin(120°) = \frac{\sqrt{3}}{2} \], \( \sin(30°) = \frac{1}{2} \).

\[ \frac{10}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{AB}{\frac{1}{2}} \]

\[ \frac{20}{\sqrt{3}} = 2AB \]

\[ AB = \frac{10}{\sqrt{3}} = \frac{10\sqrt{3}}{3} \] см.

Теперь найдём высоту \( BH \) в прямоугольном треугольнике \( BHA \):

\[ BH = AB \cdot \sin(∠ A) = \frac{10\sqrt{3}}{3} \cdot \sin(30°) \]

\[ BH = \frac{10\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{5\sqrt{3}}{3} \] см.

Ответ: \( \frac{5\sqrt{3}}{3} \) см.