3. Биссектриса прямоугольного равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, равна 3 см. Найти стороны данного треугольника.

Решение:

В прямоугольном равнобедренном треугольнике углы при гипотенузе равны по \( 45° \), а прямой угол — \( 90° \). Основанием в данном случае является гипотенуза.

Пусть \( ABC \) — прямоугольный равнобедренный треугольник, \( ∠ C = 90° \), \( AC = BC \). Биссектриса \( CL \) проведена к гипотенузе \( AB \).

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является также медианой и высотой. Следовательно, \( CL \) перпендикулярна \( AB \) и \( AL = LB \). Точка \( L \) — середина гипотенузы.

В равнобедренном треугольнике \( ABC \) (с \( AC=BC \)), биссектриса \( CL \) делит угол \( C \) пополам: \( ∠ ACL = ∠ BCL = 90° / 2 = 45° \).

Рассмотрим треугольник \( ACL \). Он прямоугольный (так как \( CL \) — высота), \( ∠ CAL = 45° \) и \( ∠ ACL = 45° \). Это означает, что треугольник \( ACL \) также равнобедренный, с \( AL = CL \).

По условию, биссектриса \( CL = 3 \) см. Следовательно, \( AL = 3 \) см.

Так как \( L \) — середина гипотенузы \( AB \), то \( AB = 2 \cdot AL = 2 \cdot 3 = 6 \) см.

Теперь найдём катеты \( AC \) и \( BC \). В прямоугольном треугольнике \( ABC \) по теореме Пифагора:

\[ AC^2 + BC^2 = AB^2 \]

Так как \( AC = BC \), то:

\[ 2AC^2 = AB^2 \]

\[ 2AC^2 = 6^2 = 36 \]

\[ AC^2 = 18 \]

\[ AC = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \] см.

Значит, \( BC = 3\sqrt{2} \) см.

Ответ: стороны треугольника равны \( 3\sqrt{2} \) см, \( 3\sqrt{2} \) см и 6 см.