2. В равнобедренной трапеции ABCD основание AD равно 8 см, диагональ BD перпендикулярна боковой стороне AB, а угол при основании AD равен 60°. Найдите площадь трапеции.

Обозначим боковые проекции боковых сторон через \(x\), а высоту трапеции — через \(h\).

Так как угол при основании равен \(60^\circ\), то

\[h=x\tan 60^\circ=x\sqrt{3}.\]

Условие \(BD\perp AB\) даёт:

\[x(8-x)-h^2=0.\]

Подставим \(h^2=3x^2\):

\[x(8-x)-3x^2=0,\]

\[8x-4x^2=0,\qquad x=2.\]

Тогда высота:

\[h=2\sqrt{3}\text{ см}.\]

В равнобедренной трапеции меньшее основание:

\[BC=AD-2x=8-4=4\text{ см}.\]

Площадь трапеции:

\[S=\frac{AD+BC}{2}\cdot h=\frac{8+4}{2}\cdot 2\sqrt{3}=12\sqrt{3}\text{ см}^2.\]

Ответ: \(12\sqrt{3}\) см².