2) В равнобедренной трапеции основания равны 2 и 8, а один из углов между боковой стороной и основанием равен 45°. Найдите площадь трапеции.

Решение:

Обозначим основания трапеции как $$a$$ и $$b$$, где $$a = 8$$ (большее основание) и $$b = 2$$ (меньшее основание). Высота трапеции — $$h$$. Угол между боковой стороной и большим основанием равен $$45^\circ$$.

В равнобедренной трапеции боковые стороны равны. Опустим высоты из концов меньшего основания на большее основание. Эти высоты разделят большее основание на три отрезка: два равных отрезка по краям и отрезок, равный меньшему основанию, посередине.

Длина каждого из боковых отрезков равна: $$(a - b) / 2 = (8 - 2) / 2 = 6 / 2 = 3$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой ($$h$$), боковой стороной ($$c$$) и одним из этих отрезков (3). Угол между боковой стороной и большим основанием равен $$45^\circ$$.

В этом прямоугольном треугольнике, тангенс угла $$45^\circ$$ равен отношению противолежащего катета (высота $$h$$) к прилежащему катету (отрезок длиной 3):

$$\tan(45^\circ) = \frac{h}{3}$$

Так как $$\tan(45^\circ) = 1$$, то $$1 = \frac{h}{3}$$

Отсюда, высота трапеции $$h = 3$$

Площадь трапеции вычисляется по формуле:

$$S = \frac{a + b}{2} \times h$$

Подставляем известные значения:

$$S = \frac{8 + 2}{2} \times 3 = \frac{10}{2} \times 3 = 5 \times 3 = 15$$