2. В равнобедренную трапецию вписана окружность, которая делит боковую сторону на отрезки длиной 6 дм и 8 дм. Найдите основания трапеции.

Решение:

Пусть дана равнобедренная трапеция ABCD, в которую вписана окружность. Окружность касается боковой стороны AB в точке K. Точка K делит сторону AB на отрезки AK и KB. По условию, одна часть равна 6 дм, другая — 8 дм.

Так как касательные, проведённые из одной точки к окружности, равны, то:

Если \( AK = 6 \) дм, то отрезок от той же вершины до точки касания на основании AD тоже равен 6 дм.

Если \( KB = 8 \) дм, то отрезок от той же вершины до точки касания на основании BC тоже равен 8 дм.

В равнобедренной трапеции боковая сторона равна сумме отрезков, на которые она разделена точкой касания. Следовательно, боковая сторона \( AB = AK + KB = 6 + 8 = 14 \) дм.

Так как трапеция равнобедренная, то \( CD = AB = 14 \) дм.

Свойство трапеции, в которую вписана окружность, гласит, что сумма оснований равна сумме боковых сторон: \( AD + BC = AB + CD \).

\( AD + BC = 14 + 14 = 28 \) дм.

Теперь рассмотрим отрезки, на которые точка касания делит боковую сторону. Если точка касания делит боковую сторону на отрезки 6 дм и 8 дм, то:

1. Отрезок, прилежащий к большему основанию, равен 6 дм. Отрезок, прилежащий к меньшему основанию, равен 8 дм. В этом случае большее основание \( AD = 6 + 6 = 12 \) дм, а меньшее основание \( BC = 8 + 8 = 16 \) дм. Но это противоречит тому, что AD — большее основание.

2. Отрезок, прилежащий к большему основанию, равен 8 дм. Отрезок, прилежащий к меньшему основанию, равен 6 дм. В этом случае большее основание \( AD = 8 + 8 = 16 \) дм, а меньшее основание \( BC = 6 + 6 = 12 \) дм. Эта ситуация соответствует условию.

Проверим: \( AD + BC = 16 + 12 = 28 \) дм. Это совпадает с суммой боковых сторон.

Ответ: Основания трапеции равны 16 дм и 12 дм.