- В окружность вписан четырёхугольник, два угла которого равны 59° и 68°. Найдите два оставшихся угла.

Решение:

Пусть дан четырёхугольник ABCD, вписанный в окружность. Известно, что два угла равны 59° и 68°.

В любом четырёхугольнике, вписанном в окружность (таком четырёхугольнике, как например, ABCD), сумма противоположных углов равна 180°.

Возможны два случая расположения данных углов:

Случай 1: Данные углы являются противоположными.

Пусть \( \angle A = 59° \) и \( \angle C = 68° \). Тогда:

\( \angle A + \angle C = 59° + 68° = 127° \).

Это противоречит свойству вписанного четырёхугольника, так как сумма противоположных углов должна быть 180°.

Следовательно, данный случай невозможен.

Случай 2: Данные углы являются соседними.

Пусть \( \angle A = 59° \) и \( \angle B = 68° \).

Тогда, используя свойство вписанного четырёхугольника:

\( \angle C = 180° - \angle A = 180° - 59° = 121° \).

\( \angle D = 180° - \angle B = 180° - 68° = 112° \).

Проверим сумму углов четырёхугольника: \( 59° + 68° + 121° + 112° = 360° \). Это верно.

Ответ: Два оставшихся угла равны 121° и 112°.