Точка С делит сторону АВ треугольника ОАВ в отношении 2 : 3, считая от вершины А. Найдите вектор ОС, если ОА = а и ОВ = b.

Решение:

Пусть дан треугольник ОАВ. Точка С лежит на стороне АВ и делит её в отношении 2:3, считая от вершины А. Это означает, что отношение отрезков AC к CB равно 2:3.

\( \frac{AC}{CB} = \frac{2}{3} \).

Вектор \( \vec{AB} \) можно представить как разность векторов \( \vec{OB} - \vec{OA} \), то есть \( \vec{AB} = \vec{b} - \vec{a} \).

Точка С делит отрезок AB в отношении 2:3. Это значит, что отрезок AC составляет \( \frac{2}{2+3} = \frac{2}{5} \) от всего отрезка AB.

Следовательно, вектор \( \vec{AC} \) равен \( \frac{2}{5} \) вектора \( \vec{AB} \):

\( \vec{AC} = \frac{2}{5} \vec{AB} = \frac{2}{5} (\vec{b} - \vec{a}) \).

Теперь мы можем найти вектор \( \vec{OC} \). Вектор \( \vec{OC} \) можно представить как сумму вектора \( \vec{OA} \) и вектора \( \vec{AC} \):

\( \vec{OC} = \vec{OA} + \vec{AC} \).

Подставляем известные выражения:

\( \vec{OC} = \vec{a} + \frac{2}{5} (\vec{b} - \vec{a}) \).

Раскрываем скобки:

\( \vec{OC} = \vec{a} + \frac{2}{5} \vec{b} - \frac{2}{5} \vec{a} \).

Приводим подобные слагаемые (члены с \( \vec{a} \)):

\( \vec{OC} = (1 - \frac{2}{5}) \vec{a} + \frac{2}{5} \vec{b} \).

\( \vec{OC} = (\frac{5}{5} - \frac{2}{5}) \vec{a} + \frac{2}{5} \vec{b} \).

\( \vec{OC} = \frac{3}{5} \vec{a} + \frac{2}{5} \vec{b} \).

Ответ: Вектор \( \vec{OC} = \frac{3}{5} \vec{a} + \frac{2}{5} \vec{b} \).