2. В ромбе ABCD диагонали пересекаются в точке O. OM, OK, OE — перпендикуляры, опущенные на стороны AB, BC, CD соответственно. Докажите, что OM = OK, и найдите сумму углов MOB и COE.

Диагональ BD ромба биссектрисса углов B и D, а O лежит на BD. Значит, расстояния от O до сторон AB и BC, образующих угол B, равны: это расстояния от точки на биссектрисе до сторон угла. Следовательно, OM = OK.

Обозначим ∠ABC = β. В прямоугольном треугольнике BOM угол при B равен β / 2, поэтому ∠MOB = 90° − β / 2.

Угол при C ромба равен 180° − β, а диагональ AC делит его пополам. Поэтому угол OCE в прямоугольном треугольнике OCE равен (180° − β) / 2, откуда ∠COE = 90° − (180° − β) / 2 = β / 2.

Тогда ∠MOB + ∠COE = (90° − β / 2) + β / 2 = 90°.

Ответ: OM = OK; сумма углов MOB и COE равна 90°.