2. В тетраэдре DABC M — точка пересечения медиан грани BDC, а точка E — середина ребра AC. Разложите вектор \(\overrightarrow{EM}\) по векторам \(\overrightarrow{AC}\), \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AD}\).

Question

Вопрос:

Фото задания

2. В тетраэдре DABC M — точка пересечения медиан грани BDC, а точка E — середина ребра AC. Разложите вектор \(\overrightarrow{EM}\) по векторам \(\overrightarrow{AC}\), \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AD}\).

Accepted Answer

Так как M — точка пересечения медиан треугольника BDC, она является его центроидом:

\[\overrightarrow{AM}=\frac13\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}\right).\]

Поскольку E — середина AC,

\[\overrightarrow{AE}=\frac12\overrightarrow{AC}.\]

Тогда

\[\begin{aligned}\overrightarrow{EM}&=\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AE}\\[2pt]&=\frac13\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}\right)-\frac12\overrightarrow{AC}\\[2pt]&=\frac13\overrightarrow{AB}+\frac13\overrightarrow{AD}-\frac16\overrightarrow{AC}.\end{aligned}\]

Ответ: \(\overrightarrow{EM}=\frac13\overrightarrow{AB}+\frac13\overrightarrow{AD}-\frac16\overrightarrow{AC}\).