4*. В тетраэдре DABC точки M и H — середины рёбер AD и BC соответственно. Докажите, используя векторы, что прямые AB, HM и DC параллельны одной плоскости.

Question

Вопрос:

Фото задания

4*. В тетраэдре DABC точки M и H — середины рёбер AD и BC соответственно. Докажите, используя векторы, что прямые AB, HM и DC параллельны одной плоскости.

Accepted Answer

Обозначим направления прямых:

\[\overrightarrow{AB}=\vec b,\qquad \overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD}=\vec c-\vec d.\]

Так как M и H — середины рёбер AD и BC, то

\[\overrightarrow{AM}=\frac12\overrightarrow{AD},\qquad \overrightarrow{AH}=\frac12\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right).\]

Поэтому

\[\begin{aligned}\overrightarrow{HM}&=\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AH}\\[2pt]&=\frac12\overrightarrow{AD}-\frac12\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\\[2pt]&=-\frac12\overrightarrow{AB}-\frac12\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD}\right)\\[2pt]&=-\frac12\overrightarrow{AB}-\frac12\overrightarrow{DC}.\end{aligned}\]

Значит, вектор \(\overrightarrow{HM}\) является линейной комбинацией направляющих векторов \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{DC}\). Следовательно, направления прямых AB, HM и DC принадлежат одной плоскости направлений. Поэтому сами прямые AB, HM и DC параллельны одной плоскости.

Что и требовалось доказать.

4*. В тетраэдре DABC точки M и H — середины рёбер AD и BC соответственно. Докажите, используя векторы, что прямые AB, HM и DC параллельны одной плоскости.

Ответ: