3. Даны три некомпланарных вектора \(\vec a\), \(\vec b\) и \(\vec c\). Найдите значения \(p\) и \(q\), при которых векторы \(\vec m=p\vec a+q\vec b+8\vec c\) и \(\vec n=\vec a+p\vec b+q\vec c\) коллинеарны.

Так как векторы \(\vec a\), \(\vec b\), \(\vec c\) некомпланарны, их коэффициенты в разложении можно сравнивать.

Для коллинеарных векторов существует число \(k\), такое что \(\vec m=k\vec n\). Сравниваем коэффициенты при \(\vec a\), \(\vec b\) и \(\vec c\):

\[p=k,\qquad q=kp,\qquad 8=kq.\]

Из первого равенства \(k=p\). Тогда

\[q=p^2,\qquad 8=pq=p\cdot p^2=p^3.\]

Следовательно, \(p=2\), а

\[q=p^2=4.\]

Проверка: \(\vec m=2\vec a+4\vec b+8\vec c=2(\vec a+2\vec b+4\vec c)=2\vec n\).

Ответ: \(p=2,\ q=4\).