2. В трапеции ABCD ∠A = ∠B = 90°, AB = 8 см, ВС = 4 см, CD = 10 см. Найдите:

Решение:

Трапеция ABCD — прямоугольная, так как \( \angle A = \angle B = 90^{\circ} \).

а) Площадь треугольника ACD:

1. Проведем высоту из вершины C к основанию AD. Так как трапеция прямоугольная, высота равна боковой стороне AB. Высота равна 8 см.
2. Площадь треугольника ACD можно найти по формуле: \( S_{ACD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot h \), где \( h \) — высота, проведенная к основанию AD.
3. Найдем длину основания AD. Проведем перпендикуляр из C к AD, обозначим точку пересечения H. Тогда ABCH — прямоугольник, AB = CH = 8 см, BC = AH = 4 см.
4. В прямоугольном треугольнике CHD: \( HD = AD - AH \). По теореме Пифагора \( CD^2 = CH^2 + HD^2 \). \( 10^2 = 8^2 + (AD - 4)^2 \)
5. \( 100 = 64 + (AD - 4)^2 \)
6. \( (AD - 4)^2 = 100 - 64 = 36 \)
7. \( AD - 4 = \sqrt{36} = 6 \) (так как AD > AH)
8. \( AD = 6 + 4 = 10 \) см.
9. Теперь найдем площадь треугольника ACD: \( S_{ACD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 8 = 40 \) см².

б) Площадь трапеции ABCD:

Площадь прямоугольной трапеции находится по формуле: \( S_{ABCD} = \frac{AB + CD}{2} \cdot BC \) — это неверно, формула для площади трапеции \( S = \frac{a+b}{2} \cdot h \).

В нашем случае основания — AD и BC, высота — AB.

\( S_{ABCD} = \frac{AD + BC}{2} \cdot AB = \frac{10 + 4}{2} \cdot 8 = \frac{14}{2} \cdot 8 = 7 \cdot 8 = 56 \) см².

Ответ: а) 40 см²; б) 56 см².