4. В треугольник АВС с прямым углом С вписана окружность с центром О, касающаяся сторон АВ, ВС и СА в точках D, Е и F соответственно. Известно, что ОС = 2√2 см. Найдите: а) радиус окружности; б) углы EOF и EDF.

Решение:

а) Радиус окружности:

1. Так как окружность вписана в прямоугольный треугольник ABC, то отрезки касательных, проведенные из вершины C к окружности, равны. CO — биссектриса угла C.
2. В четырехугольнике OEСF, \( \angle C = \angle OEC = \angle OFC = 90^{\circ} \), следовательно, OEСF — прямоугольник. Так как OE = OF (радиусы), то OEСF — квадрат.
3. Пусть радиус окружности равен \( r \). Тогда OE = OF = r.
4. В прямоугольном треугольнике OEC, по теореме Пифагора: \( OC^2 = OE^2 + EC^2 \)
5. \( (2\sqrt{2})^2 = r^2 + r^2 \)
6. \( 8 = 2r^2 \)
7. \( r^2 = 4 \)
8. \( r = 2 \) см.
9. Таким образом, радиус вписанной окружности равен 2 см.

б) Углы EOF и EDF:

1. Так как OEСF — квадрат, то \( \angle EOF = 90^{\circ} \).
2. Угол EDF — это вписанный угол, опирающийся на дугу EF. Центральный угол, опирающийся на ту же дугу, — \( \angle EOF \).
3. Связь между центральным и вписанным углом: \( \angle EDF = \frac{1}{2} \cdot \angle EOF \)
4. \( \angle EDF = \frac{1}{2} \cdot 90^{\circ} = 45^{\circ} \).

Ответ: а) 2 см; б) \( \angle EOF = 90^{\circ} \), \( \angle EDF = 45^{\circ} \).