3. Через точку М стороны АВ треугольника АВС проведена прямая, перпендикулярная высоте BD треугольника и пересекающая сторону ВС в точке К. Известно, что ВМ = 7 см, ВК = 9 см, ВС = 27 см. Найдите:

Решение:

а) Длину стороны АВ:

1. Треугольник ABС прямоугольный, так как BD — высота. \( \angle B = 90^{\circ} \).
2. По условию, точка М лежит на стороне AB, значит, AB = BM.
3. Следовательно, AB = 7 см.

б) Отношение площадей треугольников АВС и МВК:

1. Площадь треугольника ABC: \( S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \)
2. Площадь треугольника MBK: \( S_{MBK} = \frac{1}{2} \cdot MB \cdot BK \)
3. Отношение площадей: \( \frac{S_{ABC}}{S_{MBK}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC}{\frac{1}{2} \cdot MB \cdot BK} = \frac{AB \cdot BC}{MB \cdot BK} \)
4. Подставляем известные значения: \( \frac{7 \cdot 27}{7 \cdot 9} = \frac{27}{9} = 3 \).

Ответ: а) 7 см; б) 3.