2. В трапеции ABCD ∠A = ∠B = 90°, АВ = 8 см, ВС = 4 см, CD = 10 см. Найдите: а) площадь треугольника ACD: б) площадь трапеции АBCD.

Решение:

Трапеция ABCD является прямоугольной, так как ∠A = ∠B = 90°.

а) Площадь треугольника ACD:

1. Проведем высоту из точки C к основанию AD. Так как трапеция прямоугольная, эта высота будет равна BC. Пусть точка пересечения высоты с AD будет H. Тогда CH = AB = 8 см, а DH = CD - CH = 10 - 8 = 2 см (если CD является основанием, а BC и AD параллельны, но по условию ABCD - трапеция, значит AD и BC параллельны, тогда AB и CD - боковые стороны).
2. Исходя из того, что ∠A = ∠B = 90°, AB является высотой трапеции. AD и BC - основания.
3. Проведем высоту из C к AD. Назовем точку пересечения H. Тогда AB = CH = 8 см.
4. AD = BC + DH. Для нахождения DH, рассмотрим прямоугольный треугольник CDH. У нас есть CD = 10 см, CH = 8 см. По теореме Пифагора: DH^2 = CD^2 - CH^2 = 10^2 - 8^2 = 100 - 64 = 36. Следовательно, DH = 6 см.
5. AD = BC + DH = 4 + 6 = 10 см.
6. Теперь найдем площадь треугольника ACD. Основание AD = 10 см, высота, проведенная к AD из точки C, равна AB = 8 см.
7. Площадь треугольника ACD = \( \frac{1}{2} \times AD \times AB \) = \( \frac{1}{2} \times 10 \times 8 = 40 \) см².

б) Площадь трапеции ABCD:

1. Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту.
2. Основания: BC = 4 см, AD = 10 см. Высота: AB = 8 см.
3. Площадь ABCD = \( \frac{BC + AD}{2} \times AB \) = \( \frac{4 + 10}{2} \times 8 = \frac{14}{2} \times 8 = 7 \times 8 = 56 \) см².

Ответ: а) Площадь треугольника ACD = 40 см². б) Площадь трапеции ABCD = 56 см².