2. В трапеции ABCD диагональ BD перпендикулярна боковой стороне AB, ∠ADB = ∠BDC = 30°. Найдите длину диагонали BD, если периметр трапеции равен 60 см.

В треугольнике ABD угол ABD равен 90°, а ∠ADB = 30°. Это прямоугольный треугольник с углами 30°, 60° и 90°. Пусть BD = x. Тогда AB = x/√3, AD = 2x/√3.

Поскольку основания трапеции параллельны, ∠BDC = ∠ABD = 90°. Треугольник BDC также прямоугольный, причём ∠BDC = 30° и ∠BCD = 60°. Следовательно, BC = 2x, CD = √3x.

По периметру:

x/√3 + 2x/√3 + 2x + √3x = 60.

Отсюда 2√3x + 2x = 60, поэтому x = 30/(√3 + 1) = 15(√3 − 1).

Ответ: BD = 15(√3 − 1) см.