Задача. Высота CK, проведённая из вершины C ромба ABCD, падает на сторону AD в точку K. Угол между высотой CK и стороной CD равен 30°, а отрезок KD = 6 см. Найдите длину диагонали AC, если точка K лежит на стороне AD.

Так как CK ⟂ AD, треугольник CKD прямоугольный, а угол KCD равен 30°. В прямоугольном треугольнике напротив угла 30° лежит катет, равный половине гипотенузы. Поэтому CD = 2 · KD = 12 см.

Стороны ромба равны, значит AD = CD = 12 см. Тогда AK = AD − KD = 12 − 6 = 6 см.

В прямоугольном треугольнике ACK катеты AK = 6 см и CK = √(CD² − KD²) = √(12² − 6²) = 6√3 см. По теореме Пифагора:

AC = √(AK² + CK²) = √(6² + (6√3)²) = √144 = 12 см.

Ответ: AC = 12 см.