2. В треугольник АВС, у которого ∠C = 90°, вписана окружность с центром О, касающаяся сторон треугольника АВ, ВС, АС в точках М, Т, Р соответственно. Расстояние от точки пересечения биссектрис треугольника АВС до вершины С равно \(\sqrt{8}\) см. Найдите радиус окружности, ∠ТОР и ∠TMP.

Решение:

В прямоугольном треугольнике ABC \( \angle C = 90^{\circ} \). Окружность с центром O вписана в треугольник и касается сторон AB, BC, AC в точках M, T, P соответственно. Следовательно, OT \(\perp\) BC, OP \(\perp\) AC, OM \(\perp\) AB.

Четырехугольник OTCP является квадратом, так как \( \angle C = 90^{\circ} \), OP \(\perp\) AC, OT \(\perp\) BC, и OP = OT = r (радиус вписанной окружности).

Точка пересечения биссектрис - центр вписанной окружности O.

Расстояние от центра вписанной окружности O до вершины C равно \( \sqrt{8} \) см. В прямоугольном треугольнике OTP, \( \angle C = 90^{\circ} \), OT = OP = r. По теореме Пифагора:

\[ OC^2 = OP^2 + CP^2 \]

Так как OTCP - квадрат, CP = r.

\[ (\sqrt{8})^2 = r^2 + r^2 \]

\[ 8 = 2r^2 \]

\[ r^2 = 4 \]

\[ r = 2 \) см.

Теперь найдем \( \angle TOP \).

В квадрате OTCP, \( \angle TOP = 90^{\circ} \).

Найдем \( \angle TMP \).

Точка M лежит на гипотенузе AB. OM \(\perp\) AB.

Рассмотрим треугольник ABC. Пусть \( \angle A = \alpha \), \( \angle B = \beta \). Тогда \( \alpha + \beta = 90^{\circ} \).

Биссектриса угла A делит его пополам, \( \angle OAP = \frac{\alpha}{2} \).

Биссектриса угла B делит его пополам, \( \angle OBM = \frac{\beta}{2} \).

В треугольнике AOP, \( \angle APO = 90^{\circ} \), \( \angle OAP = \frac{\alpha}{2} \).

В треугольнике OBM, \( \angle OMB = 90^{\circ} \), \( \angle OBM = \frac{\beta}{2} \).

Рассмотрим треугольник TBP. \( \angle TPB = 90^{\circ} \). \( \angle PBT = \beta \). \( \angle BPT = 90^{\circ} - \beta = \alpha \).

Рассмотрим треугольник MTP. Мы знаем, что OT = OP = OM = r = 2.

В четырехугольнике OTCP, \( \angle TOP = 90^{\circ} \).

В треугольнике OMT, OM = OT = r. \( \angle OMT = \angle OTM \).

В треугольнике OMP, OM = OP = r. \( \angle OMP = \angle OPM \).

\( \angle TMP = \angle OMP + \angle OMT \).

Рассмотрим угол \( \angle OAC = 90^{\circ} - \frac{\alpha}{2} \) и \( \angle OBC = 90^{\circ} - \frac{\beta}{2} \).

Так как M - точка касания на гипотенузе, то OM \(\perp\) AB.

Угол \( \angle TMP \) можно найти, зная, что M - середина гипотенузы, если треугольник равнобедренный, но это не так.

Рассмотрим хорду TP. \( \angle TOP = 90^{\circ} \). Угол, вписанный в окружность \( \angle TMP \) опирается на дугу TP. Центральный угол, опирающийся на дугу TP, равен \( \angle TOP = 90^{\circ} \). Угол \( \angle TMP = \frac{1}{2} \angle TOP = \frac{1}{2} 90^{\circ} = 45^{\circ} \).

Ответ: радиус окружности 2 см, \( \angle TOP = 90^{\circ} \), \( \angle TMP = 45^{\circ} \).