3. Стороны АВ и CD четырехугольника АВCD, вписанного в окружность радиуса 4 см, параллельны и имеют равные длины, ZADB = 60°. а) Найдите АВ. б) Какие значения может принимать \( \angle MBC \), если М - точка окружности – равноудалена от концов отрезка ВС?

Решение:

Дано: ABCD - вписанный четырехугольник, R = 4 см. AB \( \parallel \) CD, AB = CD. \( \angle ADB = 60^{\circ} \).

а) Найдем AB.

Так как AB \( \parallel \) CD, то дуги AC и BD равны. Но AB = CD, следовательно, дуги AB и CD равны. Если две хорды равны, то и соответствующие им дуги равны.

В окружности равные хорды стягивают равные дуги. Следовательно, дуга AB = дуга CD. Так как AB \( \parallel \) CD, то дуга AC = дуга BD.

Если AB \( \parallel \) CD, то ABCD - равнобедренная трапеция. Следовательно, AC = BD.

Так как AB = CD, то дуга AB = дуга CD. Пусть эта дуга равна \( \alpha \).

Так как AB \( \parallel \) CD, то дуга AC = дуга BD. Пусть эта дуга равна \( \beta \).

Сумма дуг окружности равна 360°: \( 2\alpha + 2\beta = 360^{\circ} \) \( \alpha + \beta = 180^{\circ} \).

Угол \( \angle ADB = 60^{\circ} \) вписан и опирается на дугу AB. Следовательно, дуга AB = 2 \( \angle ADB = 2 \cdot 60^{\circ} = 120^{\circ} \).

Так как дуга AB = 120°, то \( \alpha = 120^{\circ} \).

Из \( \alpha + \beta = 180^{\circ} \) следует \( \beta = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ} \).

Итак, дуга AC = дуга BD = 60°.

Теперь найдем длину хорды AB. Длина хорды равна \( 2R \sin(\frac{\text{дуга}}{2}) \).

\[ AB = 2R \(\sin\)\(\frac{120^{\circ}}{2}\) = 2 \(\cdot\) 4 \(\sin\)\(60^{\circ}\) = 8 \(\cdot\) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) = 4\(\sqrt{3}\) \) см.

б) Какие значения может принимать \( \angle MBC \), если М - точка окружности – равноудалена от концов отрезка ВС?

М равноудалена от концов отрезка BC, значит, M лежит на серединном перпендикуляре к BC.

Серединный перпендикуляр к хорде BC проходит через центр окружности O.

Следовательно, M может быть любой точкой на окружности, лежащей на серединном перпендикуляре к BC.

Серединный перпендикуляр к BC является диаметром окружности, проходящим через середину дуги BC.

Пусть точка M - середина дуги BC. Тогда BM = MC.

Найдем \( \angle MBC \). Угол \( \angle MBC \) вписан и опирается на дугу MC.

Дуга BC = 60°.

Если M - середина дуги BC, то дуга MC = \( \frac{1}{2} \text{дуга BC} = \frac{1}{2} 60^{\circ} = 30^{\circ} \).

Тогда \( \angle MBC = \frac{1}{2} \text{дуга MC} = \frac{1}{2} 30^{\circ} = 15^{\circ} \).

Если M - точка на окружности, равноудаленная от B и C, то M может быть либо на середине малой дуги BC, либо на середине большой дуги BC.

Если M - середина малой дуги BC, то дуга MC = 30°, \( \angle MBC = 15^{\circ} \).

Если M - середина большой дуги BC, то большая дуга BC = 360° - 60° = 300°.

Тогда дуга MC (большая) = \( \frac{1}{2} \cdot 300^{\circ} = 150^{\circ} \).

\( \angle MBC = \frac{1}{2} \text{дуга MC} = \frac{1}{2} 150^{\circ} = 75^{\circ} \).

Ответ: а) \( 4\sqrt{3} \) см. б) \( 15^{\circ} \) или \( 75^{\circ} \).