№2. В треугольник ДАВС вписана окружность. 1) ∠ABC = 58°, ∠CAB = 64°. Найдите ∠COB, ∠AOB, ∠AOC. 2) АН = 3 см, ВМ = 6 см, СК = 7 см. Найдите РДАВС-

Решение:

1) Нахождение углов:

1. Сначала найдём третий угол треугольника: \( \angle ACB = 180^{\circ} - \angle ABC - \angle CAB = 180^{\circ} - 58^{\circ} - 64^{\circ} = 180^{\circ} - 122^{\circ} = 58^{\circ} \).
2. Так как \( \angle ABC = \angle ACB = 58^{\circ} \), треугольник ДАВС равнобедренный с основанием АС.
3. Центр вписанной окружности (точка О) является точкой пересечения биссектрис.
4. Угол \( \angle COB \): \( \angle OBC = \frac{\angle ABC}{2} = \frac{58^{\circ}}{2} = 29^{\circ} \). \( \angle OCB = \frac{\angle ACB}{2} = \frac{58^{\circ}}{2} = 29^{\circ} \). В треугольнике \( \triangle OBC \): \( \angle COB = 180^{\circ} - (\angle OBC + \angle OCB) = 180^{\circ} - (29^{\circ} + 29^{\circ}) = 180^{\circ} - 58^{\circ} = 122^{\circ} \).
5. Угол \( \angle AOB \): \( \angle OAB = \frac{\angle CAB}{2} = \frac{64^{\circ}}{2} = 32^{\circ} \). \( \angle OBA = \frac{\angle ABC}{2} = \frac{58^{\circ}}{2} = 29^{\circ} \). В треугольнике \( \triangle AOB \): \( \angle AOB = 180^{\circ} - (\angle OAB + \angle OBA) = 180^{\circ} - (32^{\circ} + 29^{\circ}) = 180^{\circ} - 61^{\circ} = 119^{\circ} \).
6. Угол \( \angle AOC \): \( \angle OAC = \frac{\angle CAB}{2} = \frac{64^{\circ}}{2} = 32^{\circ} \). \( \angle OCA = \frac{\angle ACB}{2} = \frac{58^{\circ}}{2} = 29^{\circ} \). В треугольнике \( \triangle AOC \): \( \angle AOC = 180^{\circ} - (\angle OAC + \angle OCA) = 180^{\circ} - (32^{\circ} + 29^{\circ}) = 180^{\circ} - 61^{\circ} = 119^{\circ} \).

2) Нахождение периметра:

Точки Н, М, К — точки касания вписанной окружности со сторонами треугольника. Отрезки касательных, проведенные из одной вершины, равны.

• \( AH = AK = 3 \) см.
• \( BM = BK = 6 \) см.
• \( CN = CM = 7 \) см.
• Стороны треугольника:
• \( AB = AH + HB = 3 + 6 = 9 \) см.
• \( BC = BM + MC = 6 + 7 = 13 \) см.
• \( AC = AK + KC = 3 + 7 = 10 \) см.
• Периметр \( P_{\triangle ABC} = AB + BC + AC = 9 + 13 + 10 = 32 \) см.

Ответ: 1) ∠COB = 122°, ∠AOB = 119°, ∠AOC = 119°. 2) P_ΔABC = 32 см.