2°. В треугольниках АВС и МКР ∠A = ∠M = 90°, AB = MP, BC = KP, ∠B = 30°. Докажите, что КМ = 1/2 KP.

Треугольники ABC и MKP прямоугольные. По условию AB = MP и BC = KP. По теореме Пифагора AC² = BC² - AB² и KM² = KP² - MP². Так как AB = MP и BC = KP, то AC² = KP² - MP² и KM² = KP² - MP². Следовательно, AC = KM. В треугольнике ABC, ∠C = 180° - 90° - 30° = 60°. В прямоугольном треугольнике напротив угла в 30° лежит катет, равный половине гипотенузы. В треугольнике ABC, AC = 1/2 BC. Так как AC = KM и BC = KP, то KM = 1/2 KP. Доказано.