3. В треугольнике ABC ∠C = 60°. На стороне АС отмечена точка D так, что ∠BDC = 60°, ∠ABD = 30°. а) Докажите, что AD = BC. б) Докажите, что периметр треугольника АВС меньше пяти длин отрезка ВС.

а) В треугольнике BDC, ∠C = 60°, ∠BDC = 60°, следовательно, ∠DBC = 180° - 60° - 60° = 60°. Треугольник BDC равносторонний, поэтому BC = BD = DC. В треугольнике ABD, ∠ABD = 30°, ∠A = 180° - ∠C - ∠ABC = 180° - 60° - (∠DBC + ∠ABD) = 180° - 60° - (60° + 30°) = 180° - 60° - 90° = 30°. Так как ∠A = ∠ABD = 30°, треугольник ABD равнобедренный, следовательно, AD = BD. Поскольку BD = BC, то AD = BC. Доказано.
б) Периметр треугольника ABC = AB + BC + AC. Из а) AD = BC. AC = AD + DC. Так как BDC равносторонний, DC = BC. Значит, AC = BC + BC = 2BC. В треугольнике ABD, AB < AD + BD (неравенство треугольника). Так как AD = BD = BC, то AB < BC + BC = 2BC. Периметр ABC = AB + BC + AC < 2BC + BC + 2BC = 5BC. Доказано.