2. В треугольнике ABC: AB = 6, BC = √2, ∠ABC = 135°. Найти AC, S△, P△.

По теореме косинусов:

\(AC^2=AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot\cos135^\circ=36+2-12\sqrt2\cdot\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)=50.\)

Значит, \(AC=5\sqrt2\).

Площадь найдём по двум сторонам и углу между ними:

\(S_{\triangle} =\frac12\cdot AB\cdot BC\cdot\sin135^\circ=\frac12\cdot6\cdot\sqrt2\cdot\frac{\sqrt2}{2}=3.\)

Периметр:

\(P_{\triangle}=AB+BC+AC=6+\sqrt2+5\sqrt2=6+6\sqrt2.\)

Ответ: \(AC=5\sqrt2\), \(S_{\triangle}=3\), \(P_{\triangle}=6+6\sqrt2\).