2. В треугольнике ABC на стороне AC отмечена точка D, такая, что AB=BD=DC. DF медиана треугольника BDC. Найдите угол BAC, если угол FDC равен 65°.

Решение:

1. Так как AB = BD, треугольник ABD равнобедренный. Пусть \( \angle BAC = \angle BDA = \alpha \).

2. Так как BD = DC, треугольник BDC равнобедренный. Пусть \( \angle DBC = \angle DCB = \beta \).

3. DF — медиана в треугольнике BDC. Так как BDC равнобедренный, то медиана DF является также высотой и биссектрисой. Значит, \( \angle BDF = \angle CDF \) и \( \angle DFC = 90^{\circ} \).

4. В треугольнике FDC: \( \angle FDC + \angle DCB = 90^{\circ} \) (сумма острых углов прямоугольного треугольника). Следовательно, \( \angle FDC = 90^{\circ} - \beta \).

5. По условию, \( \angle FDC = 65^{\circ} \). Значит, \( 65^{\circ} = 90^{\circ} - \beta \), откуда \( \beta = 90^{\circ} - 65^{\circ} = 25^{\circ} \).

6. Угол \( \angle ADB \) является внешним углом треугольника BDC. \( \angle ADB = \angle DBC + \angle DCB = \beta + \beta = 2 \beta \).

7. Так как \( \beta = 25^{\circ} \), то \( \angle ADB = 2 \cdot 25^{\circ} = 50^{\circ} \).

8. В треугольнике ABC: \( \angle BAC + \angle ABC + \angle BCA = 180^{\circ} \).

\( \angle BAC = \alpha \).

\( \angle ABC = \angle ABD + \angle DBC \).

\( \angle ABD \) в треугольнике ABD: \( \angle ABD = 180^{\circ} - (\angle BAC + \angle BDA) = 180^{\circ} - (\alpha + \alpha) = 180^{\circ} - 2\alpha \).

\( \angle ABC = (180^{\circ} - 2\alpha) + \beta = 180^{\circ} - 2\alpha + 25^{\circ} \).

\( \angle BCA = \beta = 25^{\circ} \).

Сумма углов треугольника ABC: \( \alpha + (180^{\circ} - 2\alpha + 25^{\circ}) + 25^{\circ} = 180^{\circ} \).

\( \alpha + 180^{\circ} - 2\alpha + 50^{\circ} = 180^{\circ} \).

\( 230^{\circ} - \alpha = 180^{\circ} \).

\( \alpha = 230^{\circ} - 180^{\circ} = 50^{\circ} \).

Проверка: \( \angle BAC = 50^{\circ} \). \( \angle ADB = 50^{\circ} \) (из равнобедренности ABD). \( \angle DBC = \angle DCB = 25^{\circ} \). \( \angle ABD = 180 - 50 - 50 = 80^{\circ} \). \( \angle ABC = 80 + 25 = 105^{\circ} \). \( \angle BAC + \angle ABC + \angle BCA = 50 + 105 + 25 = 180^{\circ} \). Всё верно.

Ответ: 50°.