2°. В треугольнике АВС проведены медиана АМ, биссектриса BN и высота СК. Укажите номера верных утверждений:

Решение:

1) BM = CM. Медиана делит противоположную сторону пополам. Если AM — медиана, то BM ≠ CM, а AM делит BC пополам, значит BM = MC. Если BN — медиана, то BM = MC. Если AM — медиана, то BM ≠ CM. Если BN — медиана, то BM = MC. У нас АМ — медиана, значит, BM ≠ CM. Утверждение неверно.

2) AN = CN. Биссектриса делит противоположную сторону пропорционально прилежащим сторонам. Если BN — биссектриса, то AN/CN = AB/BC. Если AN — биссектриса, то CN/BN = AC/BC. У нас BN — биссектриса, значит, AN ≠ CN (если только AB=BC, но это не дано). Утверждение неверно.

3) ∠BAM = ∠CAM. Это условие выполняется, если AM — биссектриса. У нас AM — медиана. Утверждение неверно.

4) ∠ABN = ∠CBN. Это условие выполняется, если BN — биссектриса. BN является биссектрисой по условию. Утверждение верно.

5) ∠AKC = 90°. Высота опущена из вершины C. Если СК — высота, то она перпендикулярна стороне AB. Значит, угол между СК и AB равен 90°. ∠CKA = 90°. Утверждение верно.

6) ∠BNC = 90°. Это условие выполняется, если BN — высота. У нас BN — биссектриса. Утверждение неверно.

Ответ: 4, 5.