2. В треугольнике MKP с углом M, равным 45°, высота KH делит сторону MP на отрезки, длины которых 4 и 6, считая от вершины M. Найдите длину медианы, проведённой из вершины M.

Пусть MH = 4, тогда HP = 6 и MP = 10.

1. Так как KH — высота, то треугольник MKH прямоугольный. Угол M равен 45°, поэтому треугольник MKH — равнобедренный прямоугольный: KH = MH = 4.
2. Введём координаты: M(0; 0), P(10; 0), K(4; 4). Середина стороны KP имеет координаты E(7; 2).
3. Длина медианы ME: \(ME=\sqrt{(7-0)^2+(2-0)^2}=\sqrt{49+4}=\sqrt{53}\).

Ответ: \(\sqrt{53}\).