4. В треугольнике KNP KN = 8√2, KP = 18, ∠K = 45°. Найдите медиану, проведённую из вершины K.

Обозначим медиану из вершины K через \(m_K\).

1. Сначала найдём сторону NP по теореме косинусов:
   \(NP^2=KN^2+KP^2-2\cdot KN\cdot KP\cdot\cos 45^\circ\).
   \(NP^2=(8\sqrt2)^2+18^2-2\cdot8\sqrt2\cdot18\cdot\frac{\sqrt2}{2}=128+324-144=308\).
2. Используем формулу медианы:
   \(m_K^2=\frac{2KN^2+2KP^2-NP^2}{4}\).
   \(m_K^2=\frac{2\cdot128+2\cdot324-308}{4}=\frac{596}{4}=149\).
3. Следовательно, \(m_K=\sqrt{149}\).

Ответ: \(\sqrt{149}\).