6. В прямоугольной трапеции ABCD AD и BC — основания, ∠BAD = 90°, AB = AD = 4, AC пересекает BD в точке O, причём BO : OD = 1 : 3. Найдите длину медианы CE треугольника BCD.

Введём координаты: A(0; 0), D(4; 0), B(0; 4), C(x; 4). Тогда BC = x.

1. Из отношения BO : OD = 1 : 3 следует, что точка O делит диагональ BD в отношении 1:3, поэтому O является четвёртой частью пути от B к D:
   \(O=B+\frac14(D-B)=(0;4)+\frac14(4;-4)=(1;3)\).
2. Точка O лежит на диагонали AC. На высоте \(y=3\) она соответствует \(\frac34\) диагонали AC, поэтому её абсцисса равна \(\frac34x\):
   \(\frac34x=1\), откуда \(x=\frac43\). Значит, \(C\left(\frac43;4\right)\).
3. Точка E — середина BD:
   \(E\left(\frac{0+4}{2};\frac{4+0}{2}\right)=(2;2)\).
4. Найдём медиану CE:
   \(CE=\sqrt{\left(2-\frac43\right)^2+(2-4)^2}=\sqrt{\left(\frac23\right)^2+4}=\sqrt{\frac{40}{9}}=\frac{2\sqrt{10}}{3}\).

Ответ: \(\frac{2\sqrt{10}}{3}\).