2 вариант. Прямые a и b пересекаются в точке M. Прямая a пересекает параллельные плоскости α и β в точках A₁ и A₂ соответственно. Прямая b пересекает плоскости α и β в точках B₁ и B₂ соответственно. A₁A₂ = 3 см, MA₁ = 6 см, A₁B₁ = 4 см. а) Доказать, что A₁B₁ ∥ A₂B₂. б) Найти A₂B₂.

а) Точки M, A₁, A₂ лежат на прямой a, а M, B₁, B₂ — на прямой b. Плоскости α и β параллельны, поэтому центральная проекция из M переводит α в β. Такая проекция является гомотетией с центром M: соответствующие отрезки параллельны.

Следовательно, A₁B₁ ∥ A₂B₂.

б) Так как точки A₁ и A₂ лежат на одной стороне от M, MA₂ = MA₁ + A₁A₂ = 6 + 3 = 9 см. Коэффициент гомотетии равен MA₂/MA₁ = 9/6 = 3/2. Поэтому A₂B₂ = A₁B₁ · 3/2 = 4 · 3/2 = 6 см.

Ответ: а) A₁B₁ ∥ A₂B₂; б) A₂B₂ = 6 см.