AA₁ — перпендикуляр к плоскости α. AB и AC — наклонные. AB = 4 см, AC = 8 см, BA₁ : CA₁ = 1 : 7. Найдите AA₁.

Пусть BA₁ = x, тогда CA₁ = 7x. Поскольку AA₁ перпендикулярен плоскости α, треугольники AA₁B и AA₁C прямоугольные.

По теореме Пифагора:

\(AA_1^2 + x^2 = 4^2\),

\(AA_1^2 + (7x)^2 = 8^2\).

Вычтем первое равенство из второго: 48x² = 48, откуда x = 1 см. Тогда AA₁² = 16 − 1 = 15.

Ответ: \(AA_1 = \sqrt{15}\) см.