2. Вася и Маша не умеют сокращать дроби. Они делают это неправильно. Вася думает, что нужно от числителя отнять 3, а от знаменателя отнять 2. Вася делает так: 6/4 = (6-3)/(4-2) = 3/2. Маша считает, что нужно от числителя отнять 2, а от знаменателя отнять 1. Маша делает так: 2/2 = (2-2)/(2-1) = 0/1. Вася и Маша (не обязательно по очереди) двадцать раз «сократили» дробь 2018/2019 по своим правилам и получили дробь со знаменателем 1995. Найдите числитель получившейся дроби. Запишите решение и ответ.

Решение:

• Определим, какое действие совершает Вася: он вычитает 3 из числителя и 2 из знаменателя.
• Определим, какое действие совершает Маша: она вычитает 2 из числителя и 1 из знаменателя.
• Обозначим исходную дробь как x/y.
• После действий Васи дробь становится (x-3)/(y-2).
• После действий Маши дробь становится (x-2)/(y-1).
• Вася и Маша применили свои правила 20 раз.
• Пусть начальная дробь была \( \frac{a}{b} \).
• Каждое действие Васи изменяет дробь следующим образом: \( \frac{a-3}{b-2} \).
• Каждое действие Маши изменяет дробь следующим образом: \( \frac{a-2}{b-1} \).
• Проблема в том, что нам неизвестно, сколько раз применял правила каждый из них, только общее количество действий (20).
• Однако, в задаче сказано, что они «сократили» дробь 2018/2019. Это намекает, что исходная дробь была 2018/2019, но они применяли свои неправильные правила, пока знаменатель не стал 1995.
• В задаче сказано, что они «двадцать раз «сократили» дробь 2018/2019 по своим правилам». Это значит, что каждое «сокращение» - это либо действие Васи, либо действие Маши.
• Пусть Вася применил свои правила 'v' раз, а Маша - 'm' раз. Тогда v + m = 20.
• Исходная дробь: \( \frac{2018}{2019} \).
• После v действий Васи, дробь будет: \( \frac{2018 - 3v}{2019 - 2v} \).
• После m действий Маши, дробь будет: \( \frac{2018 - 2m}{2019 - m} \).
• Если они делали это по очереди, то порядок важен. Но если это просто суммарное применение их правил, то нам нужно найти такую комбинацию, чтобы знаменатель стал 1995.
• Предположим, что их правила применялись последовательно.
• Рассмотрим, как меняется знаменатель.
• Если Вася применяет правило, знаменатель уменьшается на 2.
• Если Маша применяет правило, знаменатель уменьшается на 1.
• Общее уменьшение знаменателя: 2019 - 1995 = 24.
• Пусть Вася применил свое правило x раз, а Маша y раз. Тогда 2x + y = 24.
• Общее количество применений правил: x + y = 20.
• Вычтем второе уравнение из первого: (2x + y) - (x + y) = 24 - 20, что дает x = 4.
• Тогда y = 20 - x = 20 - 4 = 16.
• Итак, Вася применил свое правило 4 раза, а Маша - 16 раз.
• Теперь найдем числитель.
• Исходный числитель: 2018.
• Уменьшение числителя после 4 действий Васи: 4 * 3 = 12.
• Уменьшение числителя после 16 действий Маши: 16 * 2 = 32.
• Общее уменьшение числителя: 12 + 32 = 44.
• Новый числитель: 2018 - 44 = 1974.
• Проверим: \( \frac{2018 - 3 · 4}{2019 - 2 · 4} = \frac{2018 - 12}{2019 - 8} = \frac{2006}{2011} \) - это после действий Васи.
• Если применить действия Маши к \( \frac{2018}{2019} \), то \( \frac{2018 - 2 · 16}{2019 - 1 · 16} = \frac{2018 - 32}{2019 - 16} = \frac{1986}{2003} \).
• Проблема в том, что порядок действий важен.
• Давайте переформулируем: после 20 операций, у нас получилась дробь с знаменателем 1995.
• Пусть количество применений правила Васи = v, количество применений правила Маши = m.
• v + m = 20.
• Новая дробь = \( \frac{2018 - 3v - 2m}{2019 - 2v - m} \).
• Нам дано, что \( 2019 - 2v - m = 1995 \).
• Из v + m = 20, следует m = 20 - v.
• Подставим m в уравнение для знаменателя: \( 2019 - 2v - (20 - v) = 1995 \).
• \( 2019 - 2v - 20 + v = 1995 \).
• \( 1999 - v = 1995 \).
• \( v = 1999 - 1995 = 4 \).
• Значит, Вася применял правило 4 раза.
• Маша применяла правило m = 20 - v = 20 - 4 = 16 раз.
• Теперь найдем числитель: \( 2018 - 3v - 2m \).
• \( 2018 - 3 · 4 - 2 · 16 \).
• \( 2018 - 12 - 32 \).
• \( 2018 - 44 = 1974 \).

Ответ: 1974