3. В пяти ящиках лежат красные, синие и белые шары. Число синих шаров в каждом ящике равно общему числу белых шаров во всех остальных ящиках. А число белых шаров в каждом ящике равно общему числу красных шаров во всех остальных ящиках. Сколько всего шаров лежит в ящиках, если известно, что их количество чётно, больше 100 и меньше 130? Запишите решение и ответ.

Решение:

• Пусть в каждом ящике \( K_i \) красных, \( S_i \) синих и \( B_i \) белых шаров, где \( i = 1, 2, 3, 4, 5 \).
• Общее число шаров в ящике \( i \): \( N_i = K_i + S_i + B_i \).
• Общее число шаров во всех ящиках: \( N = \sum_{i=1}^{5} N_i = \sum_{i=1}^{5} (K_i + S_i + B_i) \).
• Условие 1: Число синих шаров в каждом ящике равно общему числу белых шаров во всех остальных ящиках.
• Для ящика \( i \): \( S_i = \sum_{j
  eq i} B_j \).
• Пусть \( B = \sum_{j=1}^{5} B_j \) — общее число белых шаров. Тогда \( \sum_{j
  eq i} B_j = B - B_i \).
• Итак, \( S_i = B - B_i \).
• Условие 2: Число белых шаров в каждом ящике равно общему числу красных шаров во всех остальных ящиках.
• Для ящика \( i \): \( B_i = \sum_{j
  eq i} K_j \).
• Пусть \( K = \sum_{j=1}^{5} K_j \) — общее число красных шаров. Тогда \( \sum_{j
  eq i} K_j = K - K_i \).
• Итак, \( B_i = K - K_i \).
• Суммируем \( S_i \) по всем ящикам: \( \sum_{i=1}^{5} S_i = \sum_{i=1}^{5} (B - B_i) = 5B - \sum_{i=1}^{5} B_i = 5B - B = 4B \).
• Пусть \( S = \sum_{i=1}^{5} S_i \) — общее число синих шаров. Тогда \( S = 4B \).
• Суммируем \( B_i \) по всем ящикам: \( \sum_{i=1}^{5} B_i = \sum_{i=1}^{5} (K - K_i) = 5K - \sum_{i=1}^{5} K_i = 5K - K = 4K \).
• \( B = 4K \).
• Из \( S = 4B \) и \( B = 4K \) следует, что \( S = 4(4K) = 16K \).
• Итак, у нас есть соотношения: \( S = 16K \) и \( B = 4K \).
• Общее число шаров \( N = K + S + B = K + 16K + 4K = 21K \).
• Поскольку \( N = 21K \), то общее число шаров должно делиться на 21.
• Также известно, что \( 100 < N < 130 \) и \( N \) — чётное число.
• Найдем числа, кратные 21, в этом диапазоне:
• 21 * 5 = 105
• 21 * 6 = 126
• Число 105 нечётное.
• Число 126 чётное и находится в диапазоне (100, 130).
• Следовательно, общее число шаров \( N = 126 \).
• Проверим, возможно ли такое распределение.
• Если \( N = 126 \), то \( K = N / 21 = 126 / 21 = 6 \).
• \( S = 16K = 16 * 6 = 96 \).
• \( B = 4K = 4 * 6 = 24 \).
• \( K + S + B = 6 + 96 + 24 = 126 \).
• Теперь проверим условия для каждого ящика.
• \( S_i = B - B_i \) и \( B_i = K - K_i \).
• Сумма всех белых шаров \( B = 24 \).
• Сумма всех красных шаров \( K = 6 \).
• \( S_i = 24 - B_i \) и \( B_i = 6 - K_i \).
• Поскольку \( S_i \) и \( B_i \) — это количество шаров, они должны быть неотрицательными.
• \( B_i \) должно быть меньше или равно общему числу белых шаров в одном ящике.
• \( 6 - K_i ≥ 0 \) => \( K_i ≤ 6 \).
• \( 24 - B_i ≥ 0 \) => \( B_i ≤ 24 \).
• \( S_i = 24 - B_i \) => \( S_i ≥ 0 \) (так как \( B_i ≤ 24 \)).
• Также \( K_i, S_i, B_i \) должны быть неотрицательны.
• \( K_i ≥ 0 \).
• \( B_i = 6 - K_i ≥ 0 \).
• \( S_i = 24 - B_i = 24 - (6 - K_i) = 18 + K_i ≥ 0 \).
• Пример распределения:
• Если \( K_i = 1 \) для всех \( i \), то \( K = 5 \), но нам нужно \( K=6 \).
• Пусть \( K_1=2, K_2=1, K_3=1, K_4=1, K_5=1 \). \( K=6 \).
• Тогда \( B_1 = 6 - 2 = 4 \). \( B_2 = 6 - 1 = 5 \). \( B_3 = 6 - 1 = 5 \). \( B_4 = 6 - 1 = 5 \). \( B_5 = 6 - 1 = 5 \).
• \( B = 4+5+5+5+5 = 24 \). Это сходится.
• Теперь найдем \( S_i \):
• \( S_1 = 24 - B_1 = 24 - 4 = 20 \).
• \( S_2 = 24 - B_2 = 24 - 5 = 19 \).
• \( S_3 = 24 - B_3 = 24 - 5 = 19 \).
• \( S_4 = 24 - B_4 = 24 - 5 = 19 \).
• \( S_5 = 24 - B_5 = 24 - 5 = 19 \).
• \( S = 20 + 19 + 19 + 19 + 19 = 20 + 4 * 19 = 20 + 76 = 96 \). Это тоже сходится.
• Таким образом, распределение возможно.
• Общее количество шаров равно 126.

Ответ: 126