2. Возвести в степень: \(Z=(1-i\sqrt{3})^9\).

Запишем число в тригонометрической форме. Его модуль равен \(\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2}=2\), а аргумент равен \(-\dfrac{\pi}{3}\). Поэтому \(1-i\sqrt{3}=2\left(\cos\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)+i\sin\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)\right)\).

По формуле Муавра:

\(Z=2^9\left(\cos(-3\pi)+i\sin(-3\pi)\right)=512(-1+0i)=-512.\)

Ответ: \(Z=-512\).